中学３年生に「因数分解とは何か」と聞かれました

2020年春はコロナ禍の影響で始まりがバタバタ。

自衛のために最初数回の授業を休んだことで、「因数分解が分からない」と幼稚園ママつながりで勉強をチョコチョコ教えている中３の子に相談を受けました。

【因数分解】とは「かけ算だけのコンパクトな式に変形すること」です。

変形だけでその意味や必要性に悩みますが、因数分解してスマートな式にすると次のようなメリットがあります。

• 計算が楽になる
• 計算が早くなる
• 計算のミスが減る

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因数分解の基本は【共通している数字・文字・式でまとめること】です。数学的には『共通因数でくくる』と表現します。考え方としては「先に足し算(引き算)しておいてまとめて掛けよう」です。

例えば店内の商品が全て値札に書かれた値段の20％オフとなっていたら？

私は選んだ商品の全ての値札の価格を先に足しておいて最後に×0.8(20％オフ)します。

これを式にすると

(商品Aの価格＋商品Bの価格＋商品Cの価格＋…)×0.8

数学の場合、（　　）でくくった数字全てにかかる「0.8」が【共通項】となります。

3/8 + 1/3 + 5/6
= (9+8+20)×(1/24)
= 37/24

分母が違う分数の計算も因数分解を使うと楽になったりします。

小学生の時の分数の計算で覚えた『分母をそろえる』のと同じ、つまり因数分解といっても突然変なことを始めたわけではなく、今までやっていたことに名前を付けただけです。

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因数分解を知る前に覚えておきたいのが【素数】。

素数とは『１を除く正の整数で、かつ、１とその数字以外の正数で割ると割り切れない数字』をさします。

小難しい表現の定義なので例を２つ。

『５』は素数です。５は「１と５(その数字)以外の正数で割ると割り切れないから」です。

８は素数ではありません。「１と８(その数字)以外に、２や４で割っても割り切れるから」です。

素数でない数字は【素因数分解】ができます。

素因数分解とは「その数字を全て素数のかけ算にすること」です。素数でない数字しか素因数分解しません(できません)。

例えば、素数である12や100の場合は

12=3×2×2

100=5×5×2×2

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素因数分解を理解できると因数分解が「早く」「楽に」なります。

なぜなら、『因数分解では「かけると〇〇、たす(ひく)と□□になる２つの数字」を見つけることが大切』だからです。

例えば、「かけると12、たすと8になる２つの数字」の場合は

①　12を素因数分解　…　12＝３×２×２

②　３、２、２の3つの数字を組み合わせて「足して８」を作る　…　６＋２

以上、「かけると12、足すと8になる２つの数字」は６と２になります。

例えば、「かけると30、たすと13になる２つの数字」の場合は

①　30を素因数分解　…　30＝３×５×２

②　５、３、２の3つの数字を組み合わせて「足して13」を作る　…　10＋２

以上、「かけると30、足すと13になる２つの数字」は10と２になります。

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因数分解の基本は次のようなものです。

abx² +(ad+bc)x+cd　―変形→ 　(ax+c)(bx+d)

「因数分解しなさい」という問題では左側の式が並ぶので、右の形に変形させればよいです。

公式で覚える人もいますが、公式は計算すれば出てくるので覚えなくても問題ありません。因数分解の公式は早く計算するのに役立つだけで、覚えていないと計算できないわけではありません。

上の式(左)と問題の係数を照らし合わせてみましょう。

標準的な因数分解の３パターンで練習です。

ⅰ：　x²+12x+27

1. ab=1
2. ad+bc=12
3. cd=27

①と②からaとbは「1」と推測されるため、cとdは「かけると27、足すと12になる組み合わせ」になります。素因数分解の出番です！

27=3×3×3＝9×3

9＋3=12

以上から　a=1、b=1、c=9、d=3　と考えられます(cとdはそれぞれ逆でも可)。

答え：　x²+12x+27=(x+9)(x+3)

ⅱ：　9x²-6x+1

1. ab=9
2. ad+bc=-6
3. cd=1

②と③からcとdはどちらも「1」または「-1」と推測されるため、aとbは「かけると9、足すと-6になる組み合わせ」になります。

9=3×3

-3+(-3)=-6

以上から「a=3、b=3、c=-1、d=-1」または「a=-3、b=-3、c=1、d=1」と考えられます。どちらも正解になるのは※の変化を見てください。-1でくくることで（　）内の符号が反対になります。

答え：　9x²-6x+1=(3x-1)(3x-1)=(3x-1)²

※(3x-1)(3x-1)=(-1)×(-3x+1)×(-1)×(-3x+1)=(-3x+1)(-3x+1)=(-3x+1)²

ⅲ：　25x²-1

1. ab=25
2. ad+bc=0
3. cd=-1

②と③からc=1、d=-1と推測されるため(逆でも可)、aとbは「かけると25、足すと0になる組み合わせ」になります。

25=5×5

5×1+5×(-1)=0

以上から「a=5、b=5、c=1、d=-1」と考えられます。

答え：　25x²-1=(5x+1)(5x-1)

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因数分解の応用は文字が２つ、例えばｘとyがある式が登場します。

でも、文字が２つあっても因数分解の基本は(ax+c)(bx+d)であることに変わりはありません。

49x²-36y²

指数を見て２つ目の文字を足します。yの指数は２なので次のように応用されます。

(ax+c)(bx+d)　―応用→　(ax+cy)(bx+dy) = abx²+(ad+bc)xy+cdy²　

1. ab=49
2. ad+bc=0
3. cd=-36

a=7、b=7、c=6、d=-6　で　49x²-36y²=(7x+6y)(7x-6y)

私が中学生のとき数学の先生は因数分解を公式で覚えさせました。

本当にムダでした。

テスト時間は有限なので公式を覚えることで早く計算を終えることは大事ですが、公式は「なぜその形(式)なのか？」を理解していないと実践では応用が利かずに撃沈してしまうのです。